«El todo es mayor que la parte» antes de Leibniz y una nueva objeción

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Existe un axioma clásico que establece: «El todo es mayor que la parte». Parece de sentido común pensar que una parte de algo tiene que ser más pequeña que ese algo completo.

Sin embargo, Leibniz dice que el axioma «El todo es mayor que la parte» fue negado por Gregorio de San Vicente en lo que respecta al ángulo de contacto, y por el cardenal Pietro Sforza Pallavicino (1607-1677) en lo que se refiere al infinito. Es decir, una parte del infinito no es más pequeña que el infinito.

Olaso dice en nota a Leibniz que lo de Gregorio de San Vicente lo comenta también Popkin (que lo atribuye a su vez a Marandé). Yo no recuerdo esto, a pesar de haber leído la obra de Popkin acerca de los escépticos.

En cuanto a lo de Pallavicino del infinito, según Olaso, no se ha podido hallar esa referencia. Lo cierto es que resultaría muy interesante averiguar en qué basaba su objeción Pallavicino, pues esa referencia al «infinito» recuerda la moderna refutación (ver «El todo es mayor que su parte»).

También dice Leibniz que fue Hobbes el primero en demostrar el axioma que afirma que el todo es mayor que la parte:

«Defínase mayor como aquella parte igual a otro todo; considérese ahora un todo A y su parte B; puesto que todo B es igual a sí mismo  y B es una parte de A, se sigue que una parte de A es igual al todo B; por lo tanto, por definición de mayor, A es mayor que B, que era lo que había que demostrar» [en el De corpore de Hobbes]

No sé si vale la pena discutir esta demostración, puesto que no acabo de entenderla. Discutiré el axioma tal como pensaba hacerlo y después volveré a la demostración de Hobbes, que me gustaría consultar en otra parte (nunca mejor dicho).

(…)

Como era de suponer, la demostración de Hobbes estaba mal transcrita. Leibniz la repite en la página 91, ahora bien expresada y comprensible:

DEFINICIÓN: «Mayor es aquello cuya parte es igual a otro todo». Lo que, como se ve, es muy diferente del sinsentido «defínese mayor como aquella parte igual a otro todo».

Hecha esta corrección, ya se puede discutir el axioma, aunque tampoco hay mucho que añadir a lo que dije en «El todo es mayor que su parte».

Leibniz, para demostrar el axioma, se apoya en la demostración de Hobbes y la ilustra con el ejemplo de dos líneas, lo cual nos remite, en cualquier caso, a las verdades de hecho, no a las de razón, en contra, sin duda, de las intenciones de Leibniz.

En definitiva, en esto, como en casi todo lo relacionado con la geometría, Leibniz sigue, sin saberlo, intuiciones empíricas que considera verdades de razón, eternas y necesarias.

Nota 2013: en lo anterior, lo que quiero decir es que cuando Leibniz acude a un ejemplo geométrico (dos líneas) para ilustrar sus verdades de hecho, está cometiendo un grave error, pues toma dos entes u objetos de hecho para demostrar los entes de razón. Dicho de otro modo, las propiedades de las líneas no son ajenas a cualquier mundo posible y en una geometría no euclidiana, por ejemplo, tendrán diferentes características. Es casi seguro que el ejemplo de las dos líneas de Leibniz se aplique a un mundo euclidiano pero que no sea válido en un mundo no eucliadano o en una superficie como el toro o el donut, por ejemplo. No recuerdo ahora cómo desarrollaba ese ejemplo Leibniz, pero es probable que las cualidades de esas dos líneas ni siquiera fueran válidas si la superficie fuera una esfera. 

Al margen de esto, he de decir que la manera en que Leibniz demuestra que «Nada es sin razón» resulta muy poco convincente. Veo que Olaso también se da cuenta de ello. Leibniz, en efecto, demuestra el axioma recurriendo a una petitio principii (Olaso, 92).

************

Sigue en: Objeciones a «El todo es mayor que la parte» según Leibniz

Tomado de un comentario al ensayo de Leibniz «Demostración de las proposiciones primarias», en las Obras selectas de Leibniz compiladas por Ezequiel Martínez de Olaso


[Escrito en 1991. Revisado en 1991 y 2016]

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11 Comments

  • seba

    también es cualquiera lo que dice hobbes, porque sólo demuestra que una parte de una cosa cualquiera es mayor que el todo de otra cosa cualquiera, es como si yo dijera que la parte es a veces mayor que el todo, porque la mitad de 5 es mayor a 2… bueno, no es nada

  • neuer

    No sé si entiendo del todo a qué te refieres. Lo de Hobbes yo lo interpreto como si dijera que el conjunto que incluye los números 1, 2, 3, 4,5 es mayor que el conjunto que incluye los números 2, 4, 5, puesto que una parte del primer conjunto (2,4,5) es como todo el otro conjunto (2,4,5), y todavía sobra (el 1 y el 3, que no están en el otro conjunto).
    No me parece una mala definición de «mayor», aunque suene un poco extraña a primera vista (y con los matices imprescindibles si se tratase de conjuntos infinitos).

    Pero tu ejemplo de argumento sofista:

    «Es como si yo dijera que la parte es a veces mayor que el todo, porque la mitad de 5 es mayor a 2…»

    me parece muy bueno y muy interesante.

  • ingrid

    » El todo es mayor que la parte» por simple intuicion o logica se da a entender que el todo es mayor que la parte como por ejemplo no se podria decir que un brazo o una pierna es mayor que el cuerpo.

    • danieltubau

      neuer (Daniel tubau) on 19 February, 2008 at 20:09 said:
      Sí, Ingrid, eso es lo que cualquiera pensaría por intuición o lógica. Sin embargo, ni la intuición ni la lógica son los mejores modos de conocimiento y sobre todo de descubrimiento.
      La intuición, porque no es casi nada. más allá de un sentimiento momentáneo, y cuando es algo más, suele ser un simple prejuicio.
      La intuición, por supuesto, puede acertar, pero no sirve para comprobar las cosas: después de intuirlas hay que examinarlas y demostrarlas.
      En cuanto a la lógica, es un método demostrativo estupendo PARA LO QUE YA SE SABE. Es decir, sirve para certificar que una cosa, dadas unas premisas previamente conocidas, es cierta.
      Entonces, en relación con lo de los todos y las partes, resulta que por intuición nos parece evidente y por lógica también, si nos quedamos solamente en la definición, o en cierta definición en concreto de las palabras “todos” y “partes”: “Todo es aquello que es mayor que las partes”.
      Sin embargo, después resulta que la observación de la realidad o al menos la de los conceptos matemáticos (que son bastante reales como se ve por sus muchas aplicaciones prácticas), resulta que ahí descubrimos que hay todos que NO SON mayores que sus partes. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales, que, aunque parezca intuitivamente difícil de aceptar para alguien no versado en matemáticas, no es mayor que el de los números pares o el de los números impares. Esos tres conjuntos mencionados son infinitos y siempre es posible poner en correspondencia un elemento del conjunto de los Naturales con un elemento del conjunto de los pares, por ejemplo.
      Eso es lo interesante del asunto, que la ciencia y el descubrimiento casi siempre va en contra de la intuición (intuición que también nos dice que la Tierra no se mueve, o que los antípodas deberían caminar cabeza abajo o caerse). Y también va en contra de cosas aparentemente basadas en al lógica, pero en realidad tan sólo basadas en la definición subjetiva de ciertas palabras (que se usan como premisas).

  • danieltubau

    Tlacaelel, on agosto 28, 2014 at 2:26 am said:
    Un número es una abstracción, no una realidad. Claro que si yo digo “4 puentes” o “4 centímetros de altura” o “4 zapatas en la unión”… ya estoy en el terreno de lo real. Por eso creo que tu ejemplo de los números naturales no funciona para poner en duda que el todo es mayor que la parte.
    Responder

    • danieltubau

      Esa es una cuestión compleja que todavía hoy en día discuten los matemáticos, ya sean idealistas/realistas o platónicos (que dicen que los números tienen algún tipo de realidad), o los convencionalistas o nominalistas (no sé si es la denominación correcta): que los números son solo abstracciones. Pero el conjunto de los números naturales es de una utilidad tal en las matemáticas y produce unos resultados prácticos tan impresionantes que sí creo que es un buen ejemplo.

      • danieltubau

        Me refiero a que los números, incluso aunque los consideráramos abstracciones, son abstracciones muy diferentes de otras como Dios, dioses, almas o unicornios, que no ofrecen ningún resultado práctico y comprobable.

  • danieltubau

    3 NOVIEMBRE, 2007 AT 10:11

    No me parece ahora tan difícil de entender la demostración de Hobbes, aunque no estoy del todo seguro acerca de si es realmente una demostración, o si incluye una petición de principio al definir mayor. Pero , como se ve, más adelante, descubrí un error en la exposición del argumento de Hobbes.

  • SEBA

    SEBA comentó 8 ENERO, 2008 AT 17:15

    Pero un infinito (el de los números enteros) es más grande que el otro (el de los números impares), porque lo incluye.

    y en la segunda objeción, la parte es igual al todo, la parte es el todo.

    igual ni en pedo vas a leer esto.

  • danieltubau

    Daniel Tubau comentó 9 ENERO, 2008 AT 18:46

    Hola Seba,
    Respecto a lo que dices de que el conjunto de los números enteros es más grande que el de los impares porque lo incluye, los matemáticos no lo consideran así. Con buenas razones. Intentaré contarlo, pero tal vez lo haga mal, pues no soy matemático:

    Aparentemente, el conjunto de los enteros es el doble de grande que el de los impares. Sin embargo, eso que sí funciona para los conjuntos finitos, deja de tener sentido con el infinito, pues 2 multiplicado por infinito es igual a infinito.
    Es decir, que son iguales a pesar de ser el de los enteros aparentemente el doble de grande.
    Del mismo modo el conjunto de los números naturales terminados en 3 es también infinito y por tanto igual al de los naturales. A pesar de que haya números terminados en 1, 2, 4, 5, 6,7,8,9 (y no en 3), pasa lo mismo que antes: 9 (la cantidad de números que NO terminan en 3) multiplicado por infinito da infinito también.
    Habría que tratar aquí el asunto de los números infinitos numerables y no numerables.
    Los enteros y los impares son ambos numerables, que quiere decir que se pueden poner en orden relacionándolos mediante una biyección entre sus elementos y los números naturales.
    El propio conjunto de los números naturales es infinito numerable, pues se puede poner en relación biyectiva consigo mismo: el 1 con el 1, el 2 con el 2, el 3 con el 3.
    Si hacemos esto mismo con los impares:
    el 1 con el 1, el 3 con el 2, el 5 con el 3… etcétera, vemos lo que se dijo antes que es tan infinito como el otro.
    Es decir, siempre habrá un número impar que asociar al siguiente número natural.
    Ahora bien, también existen los números infinitos no numerables, los transinfinitos de Cantor y otras cosas que hacen muy interesante el asunto, pero que haría esta respuesta muy larga.

    En cualquier caso, así es como se entiende en matemáticas la definición de infinito, aunque intuitivamente nos pueda parecer que un conjunto es el doble de grande que el otro o que lo contiene, eso no tiene sentido con los infinitos numerables: el infinito no es un todo que pueda contener o ser contenido (y menos por algo que también es infinito).

    Respecto a la segunda objeción, tienes razón en que en el ejemplo que pongo la parte es el todo, pero precisamente a eso me refiero, a la diferencia entre lo deductivo y lo inductivo.
    Si sabemos quiénes habitan la ciudad, entonces también sabemos que son todos varones y que en consecuencia «habitantes» y «habitantes varones» es lo mismo (ahí aplicamos sin problema la deducción).
    Pero si no sabemos exactamente quienes habitan la ciudad, entonces podemos encontrarnos con la sorpresa de que algo aparentemente cierto (que hay más habitantes que habitantes varones) no lo es. En este segundo caso, el del mundo real cotidiano aplicamos la inducción.

    Creo que esta diferencia, que quizá expliqué un poco mal, da lugar a consecuencias muy interesantes que intentaré desarrollar en algún momento.

    Un saludo y gracias por el comentario

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