La intuición de Monty Hall

Monty Hall fue uno de lo más famosos presentadores de la historia de la televisión en Estados Unidos. Durante casi treinta años, desde 1963 hasta 1990, presentó el concurso Let’s Make a Deal (Hagamos un trato). Además de elegir entre una sucesión de objetos que escondían premios muy diversos, los concursantes recibían tentadoras ofertas en metálico para hacerles más difícil la decisión.

A los lectores españoles, este programa les recordará al célebre Un, dos, tres, creado por Chicho Ibañez Serrador. Algunos lectores argentinos quizá también recuerden la versión que creó allí, años antes, el propio Chicho, y que se llamaba Un, dos… Nescafé, donde varias parejas respondían a preguntas alternativamente.

La parte final del programa, la subasta, fue incorporada en España tomando la idea del programa peruano Haga negocio con Kiko, una imitación de Let’s Make a Deal. Chicho incorporó ese programa como la parte final de Un dos, tres, y se trajo a España al presentador Kiko Ledgard. También añadió una tercera prueba eliminatoria, de carácter físico y casi siempre cómico. De ahí el nombre del programa, un, dos, tres: preguntas, eliminatoria física y subasta.

Let’s Make a deal

Volvamos a Let’s Make a Deal. Además de la subasta entre objetos y dinero, Monty Hall ofrecía a los concursantes elegir entre tres puertas o cortinas, cada una con diferentes premios. Basándose en esta prueba, en 1975, un tal Steve Selvin planteó, en una carta a una revista, un problema de tres puertas, que consistía en lo siguiente:

“Al concursante se le ofrecen tres puertas y se le explica que detrás de dos de ellas hay cabras, mientras que tras la otra hay un fabuloso automóvil. El concursante elige una de las tres puertas. Es entonces cuando el presentador abre una de las dos puertas no elegidas y muestra que detrás de ella una cabra. Ahora quedan dos puertas, la que ha elegido el espectador y la restante. Puesto que ya hemos visto una cabra, sabemos que detrás de una puerta hay una cabra y detrás de la otra un automóvil. La pregunta que se le hace al espectador es: “¿Quiere usted cambiar de puerta o prefiere seguir con la que eligió?”.

Ahora yo le formulo una pregunta semejante al lector: ¿es preferible cambiar de puerta o seguir con la que se eligió? Piénselo un momento antes de continuar leyendo.

¿Ya lo ha pensado? Quizá deba reflexionar un poco más. Puede hacerlo, por supuesto.

Bien, no sé cuál es la respuesta del lector, pero sí le puedo decir que casi todos los concursantes prefieren quedarse con la puerta elegida al principio. ¿Por qué? Probablemente porque tienen la sensación de que si cambian de puerta y el premio acaba estando en la puerta que eligieron al principio, entonces habrán dejado escapar algo que ya tenían. Psicológicamente parece más duro perder algo que ya se tiene frente a la posibilidad de ganar algo que no se ha llegado a tener.

Pero no nos interesa aquí lo que decide el espectador y ni siquiera el factor psicológico implicado en quedarse con la primera puerta elegida, sino responder a la pregunta de si es mejor seguir con la primera puerta elegida o cambiar a la otra puerta. Imagine el lector que el concursante ha eleigo la puerta 3 y que Monty Hall ha abierto la puerta 1. Ahora, Monty le ofrece cambiar la puerta 3 por la puerta 2. El lector puede ponerse en el lugar del concursante y pensar de nuevo si es mejor vquedarse con la puerta elegida o cambiar. Eso sí, le puedo garantizar que el juego no esconde ninguna trampa: nadie cambia las cabras ni los coches de sitio ni el presentador hace trampa.

Sigo sin saber la respuesta de los lectores, pero me atrevo a suponer que la mayoría habrá elegido no cambiar de puerta, del mismo modo que hacen los concursantes, pero que, en cualquier caso, también habrán considerado que existen las mismas posibilidades de llevarse el coche tanto si se quedan con la puerta elegida al principio como si cambian de puerta. Al fin y al cabo, hay un 50% de posibilidades, tanto si se cambia como si no se cambia. Es obvio que tenemos dos puertas a elegir, que detrás de una hay un coche y detrás de la otra una cabra, así que, hagamos lo que hagamos, cambiar o no cambiar de puerta, las posibilidades son las mismas.

Marilyn vos Savantavant — Marilyn vos Savant

Sin embargo, en 1990 Marilyn vos Savant, considerada por el Libro Guinnes la persona con mayor coeficiente de inteligencia del mundo (185), respondió desde su columna Ask Marilyn (Pregunte a Marilyn), de la revista Parade, a una carta que volvía a plantear el problema de Monty Hall. Vos Savant afirmó que era mucho mejor cambiar de puerta.

La respuesta de los lectores fue abrumadora: llegaron más de 10.000 cartas a la revista, de ellas al menos 1000 enviadas por matemáticos y científicos. En casi todas (al parecer, en más del 90%), se decía que vos Savant había dicho una estupidez y que daba exactamente lo mismo cambiar que no cambiar de puerta. Muchas de las cartas eran insultantes: “Usted es la cabra”, decía un lector indignado. Los matemáticos se burlaban de alguien que se metía en terrenos ajenos y se lamentaban del analfabetismo numérico de personas cultas como vos Savant. Pero todos estos lectores indignados se equivocaban. Marilyn vos Savant tenía razón: es mejor cambiar de puerta.

¿Por qué?

tres puertas-tercios — Al elegir entre tres puertas, nuestra puerta tiene un tercio d eposibilidades y las otras dos los dos tercios restantes

Porque la puerta que elegimos al principio no tiene un 50% de posibilidades de esconder la cabra, sino un 33%, mientras que la otra puerta sin abrir tiene un 66%. Es decir, si cam,biamos de puerta tenemos un tercio de posibilidades de descubrir tras ella el coche, mientras que si no cambiamos de puerta solo tendremos un tercio.

Tal vez los lectores no acaben de creérselo, porque si hay dos puertas entre las que elegir, tenemos un 50% de posibilidades en cada una de ellas. Pensar otra cosa resulta anti intuitivo.

Esa es precisamente la razón por la que me gusta emplear el problema de Monty Hall en mis clases: para mostrar a mis alumnos que no deben fiarse de la intuición, que es muy fácil ser engañados por ese mecanismo mental al que tenemos tanto cariño. Pero incluso cuando les explico, con gráficos y esquemas, que si se cambia de puerta hay más o menos un 66% de posibilidades de obtener el coche, mientras que si no se cambia el porcentaje se reduce más o menos a un 33%, no acaban de aceptarlo. Incluso cuando uno sabe la solución, su intuición se niega a aceptarlo (a mí también me sucede). Y sin embargo, se puede demostrar que es mejor cambiar de puerta.

Una manera de intentar hacer un poco más aceptable desde el punto de vista intuitivo la sorprendente respuesta es imaginar que no hay tres puertas, sino 100, detrás de las cuales se esconden 99 cabras y un coche. El concursante elige una de las 100 puertas. Es evidente que en ese momento tiene un 1% de posibilidades de haber dado con el coche y que existe un 99% de posibilidades de que el coche esté tras una de las otras 99 puertas. Ahora el presentador va abriendo puertas una tras otra y mostrando cabras tras ellas: una, dos, tres, diez, veintisiete, cuarenta… Noventa y ocho puertas… y noventa y ocho cabras que muestra tras ellas…

Ya sólo quedan dos puertas, la que eligió el concursante entre las cien iniciales y la que ha quedado sin abrir después de haber descartado de golpe 98 puertas. Ahora sí parece absolutamente claro que la puerta del concursante sigue con su 1% de posibilidades inicial, mientras que la puerta que queda sin abrir ha heredado en cierto modo el 99% de probabilidades que residía en las 99 puertas no elegidas.

montu100 — ¿Cree el lector que es fácil dar con un único coche entre 100 puertas? Se necesitaría un verdadero golpe de suerte.

Estoy seguro de que muchos lectores todavía no estarán convencidos, así que sólo me queda la solución de remitirles a una página de Internet en la que ellos mismos pueden jugar al problema de Monty Hall. Hagan diez veces la prueba cambiando siempre de puerta, y otras diez veces sin cambiar de puerta: Simply Monty Hall, o bien The Let’s Make a Deal Applet. También pueden practicar el juego con un amigo y tres naipes.

A no ser que se produzca una especie de milagro matemático (cosa estadísticamente posible pero altamente improbable) encontrarán siempre más coches cuando cambien de puerta que cuando no lo hagan: dos de cada tres veces aproximadamente.

Como dice Mark Haddon en la novela El curioso incidente del perro a medianoche, refiriéndose al problema de Monty Hall:

“Esto demuestra que la intuición puede hacer a veces que nos equivoquemos. Y la intuición es lo que la gente utiliza en la vida para tomar decisiones. Pero la lógica puede ayudarte a deducir la respuesta correcta”.

La mayoría de las personas conceden un gran crédito a su intuición, pero problemas como el de Monty Hall deberían hacer que empezaran a cuestionar muchas aparentes certezas intuitivas. Eso les permitiría aprender a pensar mejor e incluso a utilizar mejor la intuición.

[Una primera versión de este artículo se publicó en Divertinajes el 6 de septiembre de 2012]

Notanelemental-portada — Página web del libro. Amazon

En No tan elemental: cómo ser Sherlock Holmes he hablado de la intuición y de otros asuntos relacionados con nuestra manera de pensar y nuestros prejuicios, de las ideas erróneas acerca del aprendizaje y de todo tipo de confusiones intelectuales, así como de la creatividad, un asunto que trato también en mi libro El secreto de la invención, que pronto se publicará.

Más simulaciones:

http://www.mathwarehouse.com/monty-hall-simulation-online/

En la película 21, aparece el problema de Monty Hall: